[ SAS ] Durbin-Watson(DW) d Test

이전 게시물에서 오차항에 자기상관(autocorrelation)이 있는 경우에 대해 살펴봤다. 그와 더불어 오차항에 자기상관이 있는지 여부를 테스트하는 방법에 대해서는 추후 다룬다고 했는데, 이번 게시물과 다음 게시물에서 이와 관련된 검증법에 대해 다룰 예정이다. 실습 진행 이전에 프로그램 분석에 필요한 통계 개념을 짚고 넘어가자. 

[ Durbin-Watson(DW) d Test ]

오차항 간 1차 자기상관관계를 검토하기 위하여 Durbin-Watson(DW) d Test를 수행할 수 있다. 이 검증 방법을 사용하기 위하여 회귀 모형은 아래의 가정을 충족해야 한다.

• 회귀변수(regressor)는 non-random한 고정된 상수(fixed constants)이다.
• 오차항(error term)은 AR(1) model에 따라 움직여야 한다. ($u_t=\alpha u_{t-1}+\varepsilon_t$)

1) DW d Test에서의 귀무가설($H_0$)

오차항 간 1차 자기상관관계가 있는지 검증하기 위한 귀무가설 $H_0$는 $\alpha=0$이다. 단, 이전 시점의 종속 변수(시차)가 현재 시점의 종속 변수에 영향을 미치는 회귀 모형은 DW d Test를 적용할 수 없다. 예시로 저번 게시물에서 다룬 오차항의 자기상관 처리에서 다뤘던 것을 들 수 있다.

$Y_t=(\beta_1-\alpha \beta_1)+\beta_2 X_t-\alpha \beta_2 X_{t-1}+\alpha Y_{t-1}+\varepsilon_t$

이를 검정하는 문제에 대해서는 추후 다룰 예정이다.

2) DW d Test의 통계량 $d$의 근사

AR(1) model: $e_t=\alpha e_{t-1}+\nu_t$의 OLS 추정치 $\hat{\alpha}$을 먼저 구해보려고 한다. 자기상관계수 $\hat{\alpha}$는 아래와 같이 추정할 수 있다.

$\hat{\alpha}=Corr(e_t, e_{t-1})=\frac{Cov(e_t, e_{t-1})}{\sigma(e_t)\sigma(e_{t-1})}$

• $Cov(e_t, e_{t-1})=E(e_t e_{t-1})-E(e_t)E(e_{t-1})=E(e_t e_{t-1})=\frac{\sum_{t=2}^n e_t e_{t-1}}{n-1}$
  (∵ $E(e_t)=0$)
• $\sigma(e_t)=\sqrt{\frac{\sum_{t=1}^n e_t^2}{n-1}}$
• $\sigma(e_{t-1})=\sqrt{\frac{\sum_{t=2}^n e_{t-1}^2}{n-1}}$

$\hat{\alpha}=\frac{\frac{\sum_{t=2}^n e_t e_{t-1}}{n-1}}{\sigma^2(e_t)}$ (∵ $\sigma(e_t) \sim \sigma(e_{t-1})$)

$=\frac{\frac{\sum_{t=2}^n e_t e_{t-1}}{n-1}}{\frac{\sum_{t=1}^n e_t^2}{n-1}}=\frac{\sum_{t=2}^n e_t e_{t-1}}{\sum_{t=1}^n e_t^2}$

 

한편 DW d Test를 하기 위한 통계량(statistic)은 다음과 같이 주어진다.

$d=\frac{\sum_{t=2}^n (e_t-e_{t-1})^2}{\sum_{t=1}^n e_t^2}$

 

위 식을 정리하면 다음과 같이 $d$ Test 통계량을 근사할 수 있다.

$d=\frac{\sum_{t=2}^n e_t^2-2 \sum_{t=2}^n e_t e_{t-1}+\sum_{t=2}^n e_{t-1}^2}{\sum_{t=1}^n e_t^2} \cong 2-2 \hat{\alpha}=2(1-\hat{\alpha})$ (∵ $\frac{\sum e_{t-1}^2}{\sum e_t^2} \cong 1$)

3) d 값에 따른 해석

d 값에 따라 오차항 $e_t$는 아래와 같이 해석될 수 있다.

• $0<\hat{\alpha} \leq 1$:  $0 \leq d<2$. 양의 자기상관(positive autocorrelation)이 존재한다.
• $-1 \leq \hat{\alpha}<0$:  $2<d \leq 4$. 음의 자기상관(negative autocorrelation)이 존재한다.
• $\hat{\alpha}=0$:  $d=2$. 자기상관(autocorrelation)이 존재하지 않는다.

4) DW d Test 규칙

DW 테이블에서 회귀 모형(regression model)의 유의수준, 표본 크기와 독립 변수의 개수에 따라 임계값인 $d_L$(하한값)과 $d_U$(상한값)을 결정할 수 있다. 이렇게 결정된 임계값에 근거하여 d 값의 범위에 따라 DW d Test를 수행할 수 있다.