[ SAS ] - 구조 변화(Structural Change)를 관찰하는 프로그램 작성

저번 시간에는 회귀 분석 시 발생할 수 있는 문제인, 다중공선성을 관찰해 봤다. 이번에는 프로그램에서 회귀 분석을 통해 구조 변화(Structural Change)에 대해 관찰해 볼 것이다.
 
프로그램을 작성하기 이전에, 프로그램 분석에 필요한 경제 및 통계 개념을 간단하게 짚고 넘어가려고 한다.

[ 경제 모델의 구조 변화(Structural Change) ]

구조 변화(Structural Change)는 산업이나 시장이 기능하는 방식에 있어 극적인 변화가 일어났을 경우를 의미한다. 일반적으로는 전쟁,유가충격(oil price shocks), 금융 위기(financial crisis), 전염병(pandemic diseases) 등의 거시경제 충격(macroeconomic shocks)으로 인해 발생한다.
 
회귀 모형의 구조 변화(Structural Change)는 변수들 간의 관계가 변화하며 발생한다고 할 수 있다. 즉, 어느 한 시점을 경계로 그 이전의 회귀 모형과 그 이후의 회귀 모형이 서로 다른 형태가 되는 것이다. 이런 회귀 모형은 구조 변화로 인해 절편(intercept)이 2개, 기울기(slope)가 2개인 회귀 모형이 된다.

※ 경제 모델 구조 변화(Structural Change) 예시

1. 1973년 유가 상승: 세계 경제 관계에 있어 광범위한 구조적 변화를 촉발한 것으로 널리 알려져 있다.
2. 2008년 금융 위기: 세계적으로 심각한 불황을 야기했다. 많은 경제 연구 논문들이 금융위기 전후 경제 모델의 구조적 변화의 증거를 발견했다. 구조 변화(Structural Change) 중 일부는 지역적이다. 금융충격(financial shocks)은 동아시아, 동남아시아, 남미의 제한된 수의 국가에 영향을 미쳤다.

- 구조 변화(Structural Change)가 있는 회귀 모형(Regression Model)

구조 변화(Structural Change)를 나타내는 회귀 직선

금융 위기를 기준으로 구조 변화(Structural Change)가 존재하는 회귀 모형은 $Y_t=\alpha_1 I_{1t}+\alpha_2 I_{2t}+\beta_1 X_{1t}+\beta_2 X_{2t}+u_t$와 같이 나타낼 수 있다.

• $\alpha_1$: 20090401 금융 위기 전 절편(intercept)
• $I_{1t}$: 20090401 이전 기간은 1, 그 이후는 0을 취하는 지시 함수(Indicator function)
  ※지시 함수(Indicator function): 특정 집합에 특정 값이 속하는지를 표시하는 함수.
  해당 값이 속하면 1, 속하지 않으면 0의 값을 가진다.
• $\alpha_2$: 20090301 이후 절편(intercept)
• $I_{2t}$: 20090301 이후 기간은 1, 그 이전은 0을 취하는 지시 함수(indicator function)
• $\beta_1$: 20090401 금융 위기 전 기울기(slope)
• $X_{1t}$: 20090401 금융 위기 전 독립 변수(explanatory variable)
• $\beta_2$: 20090301 이후 기울기(slope)
• $X_{2t}$: 20090301 이후 독립 변수(explanatory variable)

정리하자면, $\alpha_1$, $\beta_1$은 19980101~20071201, $\alpha_2$, $\beta_2$는 20080101~20121201 기간에 대한 값이다. 이 값의 분포를 간단하게 적으면 아래와 같이 정리할 수 있다.

$I_{1t}$	1	1	1	1	$\cdots$	1	1	0	0	0	0	$\cdots$	0	0
$I_{2t}$	1	1	1	1	$\cdots$	1	1	0	0	0	0	$\cdots$	0	0
$X_{1t}$	$X_{11}$	$X_{12}$	$X_{13}$	$X_{14}$	$\cdots$	$X_{119}$	$X_{120}$	0	0	0	0	$\cdots$	0	0
$X_{2t}$	0	0	0	0	$\cdots$	0	0	$X_{221}$	$X_{222}$	$X_{223}$	$X_{224}$	$\cdots$	$X_{279}$	$X_{280}$

[ F 검정(F test) ]

Structural Change가 있는 회귀 모형의 귀무 가설은 'Structural Change가 없다'는 것이다. 이는 두 절편과 두 기울기가 모두 동일하다는 것을 의미한다. ($H_0$: $\alpha_1=\alpha_2$ and $\beta_1=\beta_2$) 이러한 귀무가설은 두가지의 parameter가 있다는 제한 때문에 t 검정(t test)로 검증이 불가능하다. 대신, F 검정(F test)를 통해 귀무가설을 검정할 수 있다. F 통계치(F statistic)는 아래와 같이 정의된다.

$\tau=\frac{ESS_R-ESS/q}{ESS/(n-k)}\sim F_{q,(n-k)}$>

• $ESS_R$: restriction이 있을 때(structural change가 없을 때) 잔차제곱합(RSS. residual sum of squares)
  SAS에서는 Error Sum of Squares에 해당한다.
• $ESS$: restriction이 없을 때(structural change가 있을 때) 잔차제곱합(RSS. residual sum of squares).
  SAS에서는 ESS에 해당한다.
• $q$: restriction의 자유도(the degrees of freedom) 
• $n-k$: restriction이 없을 때 model의 자유도(the degrees of freedom)